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　　两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映 两个不同的关键字，由于散列函数值相同， 射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。 或碰撞。 射到同一表位置上。该现象称为冲突 或碰撞 安全避免冲突的条件 最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。要做到这一点 最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。 必须满足两个条件： 必须满足两个条件： 其一是U≤m ①其一是 ②其二是选择合适的散列函数。 其二是选择合适的散列函数。 这只适用于U较小 且关键字均事先已知的情况， 较小， 这只适用于 较小，且关键字均事先已知的情况，此 时经过精心设计散列函数h有可能完全避免冲突 有可能完全避免冲突。 时经过精心设计散列函数 有可能完全避免冲突。 影响冲突的因素 冲突的频繁程度除了与h相关外 相关外， 冲突的频繁程度除了与 相关外，还与表的填满程度 相关。 相关。 设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将 和 分别表示表长和表中填人的结点数， 分别表示表长和表中填人的结点数 α=n/m定义为散列表的装填因子 定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大， 越大， 定义为散列表的装填因子 。 越大 表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。 表越满，冲突的机会也越大。通常取 。 冲突

　　题目要求出给定的方程解的个数，这个方 题目要求出给定的方程解的个数， 程在最坏的情况下可以有6个未知数 个未知数， 程在最坏的情况下可以有 个未知数，而且 次数由输入决定。 次数由输入决定。这样就不能利用数学方 法直接求出解的个数， 法直接求出解的个数，而且注意到解的范 围最多150个数，因此恐怕只能使用枚举法 个数， 围最多 个数 了。最简单的思路是穷举所有未知数的取 无法承受。 值，这样时间复杂度是 O(M6) ，无法承受。

　　找名字 给定一个全部由字符串组成的字典，字符串全部由大写字 母构成。其中为每个字符串编写密码，编写的方式是对于 n 位字符串，给定一个 n 位数，大写字母与数字的对应方 式按照电线: J,K,L 6: M,N,O 7: P,R,S 8: T,U,V 9: W,X,Y

　　冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成 一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给 定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空) 为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新 结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表 中无待查的关键字，即查找失败。 开放定址法的一般形式为：hi=(h(key)di)％m 1≤i≤m-1 其中： ①h(key)为散列函数，di为增量序列，m为表长。 ②h(key)是初始的探查位置，后续的探查位置依次是hl， h2，…，hm-1，即h(key)，hl，h2，…，hm-1形成了一个 探查序列。 ③若令开放地址一般形式的i从0开始，并令d0=0，则 h0=h(key)，则有： hi=(h(key)di)％m 0≤i≤m-1 探查序列可简记为hi(0≤i≤m-1)。

　　哈希表是一种高效的数据结构 。 散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上 （m=O(U)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数 的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时 间内就可完成查找。

　　给定两个集合A、B，集合内的任一元素x满 足1 ≤ x ≤ 109，并且每个集合的元素个数不 大于 104个。我们希望求出A、B之间的关 系。只需确定在B 中但是不在 A 中的元素 的个数即可。

　　我们先不管 与 B 的具体关系如何，注意 我们先不管A 的具体关系如何， 到这个问题的本质就是对于给定的集合A 到这个问题的本质就是对于给定的集合 ， 确定B 所以， 确定 中的元素是否在 A 中。所以，我们 使用哈希表来处理。至于哈希函数， 使用哈希表来处理。至于哈希函数，只要 按照除余法就行了， 按照除余法就行了，由于故意扩大了原题 的数据规模， 的数据规模， H(x) = x mod 15889;

　　3．平方取中法 ． 把关键字K平方， 位作为Hash函数值 把关键字 平方，然后取中间的 log 2 M 位作为 平方 函数值 返回。由于K的每一位都会对其平方中间的若干位产生影 返回。由于 的每一位都会对其平方中间的若干位产生影 因此这个方法的效果也是不错的。 响，因此这个方法的效果也是不错的。但是对于比较小的 K值效果并不是很理想，实现起来也比较繁琐。为了充分 值效果并不是很理想， 值效果并不是很理想 实现起来也比较繁琐。 利用Hash表的空间，M最好取 的整数次幂。例如 表容量 表的空间， 最好取 的整数次幂。例如,表容量 最好取2的整数次幂 利用 表的空间 M=24=16，，关键值 ，，关键值 ，，关键值K=100，那么 h(k)=8 ，

　　题目给出一个 1--12 位的数，找出在字典中出现且密码是 这个数的所有字符串。字典中字符串的个数不超过 8000 。

　　对于给定的编码，只需要一个回溯的过程，所有可能的原 对于给定的编码，只需要一个回溯的过程， 字符串都可以被列举出来， 字符串都可以被列举出来，剩下的就是检查这个字符串是 否在给定的字典中了。 否在给定的字典中了。 所以这个问题需要的还是“某个元素是否在已知集合中？” 所以这个问题需要的还是“某个元素是否在已知集合中？ 由于给出的“姓名”都是字符串， 由于给出的“姓名”都是字符串，因此我们可以利用字符 的 ASCII 码。 那么，如何设计这个哈希函数呢？注意到题目给出的字典 那么，如何设计这个哈希函数呢？ 最多能有5000 个不同元素，而一个字符的 ASCII 码 个不同元素， 中，最多能有 只能有26 种不同的取值，因此至少需要用在3个位置上的 只能有 种不同的取值，因此至少需要用在 个位置上的 字符（ ），于是我们就 字符（26^3 5000，但是 26^2 5000 ），于是我们就 ， 选取3个位置上的字符 个位置上的字符。 选取 个位置上的字符。由于给定的字符串的长度从 1-12 都有可能，为了容易实现，选取最开始的1个字符和最 都有可能，为了容易实现，选取最开始的 个字符和最 末尾的2个字符 让这3个字符组成 进制的3位数 个字符。 个字符组成27进制的 位数， 末尾的 个字符。让这 个字符组成 进制的 位数，则这 个数的值就是这个字符串的编码。 个数的值就是这个字符串的编码。这样哈希函数就设计出 来了！ 来了！

　　字符串本身就可以看成一个 字符串本身就可以看成一个256进制（ANSI字符 进制（ 进制 字符 串为128进制）的大整数，因此我们可以利用直接 进制） 串为 进制 的大整数， log M 取余法，在线性时间内直接算出Hash函数值。 函数值。 取余法，在线性时间内直接算出 函数值 为了保证效果，仍然不能选择太接近 n的数；尤 为了保证效果，仍然不能选择太接近2 的数； 其是当我们把字符串看成一个2 进制数的时候， 其是当我们把字符串看成一个 p进制数的时候， 选择m= 2p -1会使得该字符串的任意一个排列的 选择 会使得该字符串的任意一个排列的 Hash函数值都相同。 函数值都相同。 函数值都相同

　　让排列与数 让排列与数1--A(m,n)之间建立一一对应的关系。 之间建立一一对应的关系。 之间建立一一对应的关系 n 1 引理 n ∈ N n!= 1 ∑ k k! k =1 从0到n!-1的任何自然数可唯一地表示为 到 的任何自然数可唯一地表示为

　　我们再次注意到 的范围，若想不超时，似乎算法的复杂 我们再次注意到M 的范围，若想不超时， 左右， 度上限应该是 O(M3) 左右，这是因为 1503 10000000 。 这就启示我们能否仅仅通过枚举3个未知数的值来找到答 这就启示我们能否仅仅通过枚举 个未知数的值来找到答 案呢？ 案呢？ 如果这样，前一半式子的值 S 可以确定，这时只要枚举 如果这样， 可以确定， 后3 个数的值，检查他们的和是否等于 -S 即可。这样只 个数的值， 即可。 前面加了一个系数， 相当于在 O(M3) 前面加了一个系数，当然还需要预先算 的各个幂次的值。 出 1 到 150 的各个幂次的值。 想到了这里，问题就是如何迅速的找到某个 S 是否曾经 想到了这里， 出现过，以及出现过了多少次，于是又变成了“ 出现过，以及出现过了多少次，于是又变成了“某个元素 是否在给定集合中”这个问题。 是否在给定集合中”这个问题。 所以，我们还是使用哈希表解决这个问题。至于哈希函数， 所以，我们还是使用哈希表解决这个问题。至于哈希函数， 的值作为关键字使用除余法即可。 还是把 S 的值作为关键字使用除余法即可。有一点需要 注意， 是否出现， 注意，我们不仅需要纪录某个 S 是否出现，出现的次数 也很重要，所以需要加了一个存储出现次数的域。 也很重要，所以需要加了一个存储出现次数的域。

　　首先确定本题可以用广度优先搜索处理，然后来看问题的 规模。 正6边形共有19个格子可以用来放花，而且根据最后一句 限定条件，至多只能存在 C(2,19) * C(5,17) = 1058148 种 状态，用搜索完全可行。然而操作的时候，可以预料产生 的重复节点是相当多的，需要迅速判重才能在限定时间内 出解，因此想到了哈希表。 那么这个哈希函数如何设计呢？注意到19个格子组成6边 形是有顺序的，而且每一个格子只有3种可能情况，那么 用3进制19位数最大 3^20-1=3486784400 ，完全可以承 受。 于是我们将每一个状态与一个整数对应起来，使用除余法 就可以了。

　　不妨设n个元素为 不妨设 个元素为1,2,..,n。对应的规则如下 设序列 个元素为 。对应的规则如下:设序列 (an-1 ,…, a1) 对应的某一排列，其中 i可以看做是排列 中数 对应的某一排列，其中a 可以看做是排列p中数 i1所在位置右边比 小的数的个数。以排列 所在位置右边比i1小的数的个数 为例， 所在位置右边比 小的数的个数。以排列4213为例，它 为例 是元素1,2,3,4的一个排列。4的右边比 小的数的数目为 ， 的一个排列。 的右边比 小的数的数目为3， 的右边比4小的数的数目为 是元素 的一个排列 所以a 右边比3小的数的数目为 同理a 所以 3=3。3右边比 小的数的数目为 ，即a2=0 。同理 1=1 。 。 右边比 小的数的数目为0， 所以排列4213对应于变进制的 对应于变进制的301，也就是十进制的 ；反 所以排列 对应于变进制的 ，也就是十进制的19； 过来也可以从19反推到 反推到301，再反推到排列 过来也可以从 反推到 ，再反推到排列4213。 。

　　转花盆 给定两个正6边形的花坛，要求求出从第一个变化 到第二个的最小操作次数以及操作方式。 一次操作是：选定不在边上的一盆花，将这盆花 周围的6盆花按照顺时针或者逆时针的顺序依次移 动一个单位。 限定一个花坛里摆放的不同种类的花不超过3种， 对于任意两种花，数量多的花的盆数至少是数量 少的花的2倍。

　　1．直接取余法 ． 关键字k除以 除以m，取余数作为在Hash表中的 关键字 除以 ，取余数作为在 表中的 位置。函数表达式可以写成： 位置。函数表达式可以写成： h(k)=k mod m 一般m选择为素数 一般 选择为素数

　　2．乘积取整法 ． 关键字k乘以一个在 乘以一个在(0,1)中的实数（最好是无理 中的实数（ 关键字 乘以一个在 中的实数 ），得到一个 得到一个(0,1)之间的实数；取出其小数部 之间的实数； 数），得到一个 之间的实数 乘以m，再取整数部分，即得K在 分，乘以 ，再取整数部分，即得 在Hash表中 表中 的位置。函数表达式可以写成： 的位置。函数表达式可以写成：

　　其中： x1, x2 …xn是未知数， k1,k2 …kn是系数， p1,p2 …pn是指 数，且方程中的所有数均为整数。 假设未知数1≤ xi≤M, i=1,2,…,n，求这个方程的整数解的个数。 约束条件 1≤n≤6；1≤M≤150；